欧几里德算法 & 扩展欧几里德算法
概述
欧几里德算法
又称辗转相除法，给出c语言实现如下：
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| int gcd(int a,int b) { return b?gcd(a,a%b):a; }
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扩展欧几里得算法
对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
c语言实现如下：
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| int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ if (b==0) { x=1,y=0; return a; } int q=exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return q; }
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POJ-1061
Description
两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们
出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰
到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰
面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾
相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要
你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible”
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4
代码实现
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| 此处的方程是：(n - m)*t + L*p = x-y long long int gcd( long long int x, long long int y ) { if( y== 0 ) { return x; } return gcd( y, x% y ); } void exgcd( long long int a, long long int b, long long int &x, long long int &y ) { if( b== 0 ) { x= 1; y= 0; return; } exgcd( b, a% b, x, y ); long long int t= x; x= y; y= t- a/ b* y; return; } int main( ) { long long int x, y, m, n, l; while( scanf( "%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &y, &m, &n, &l )!= EOF ) { long long int a= n- m, b= l, c= x- y, p, q; long long int d= gcd( a, b ); if( c% d ) { puts( "Impossible" ); continue; } a/= d, b/= d, c/= d; exgcd( a, b, p, q ); p*= c; long long int t= p% b; while( t< 0 ) { t+= b; } printf( "%lld\n", t ); } }
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NEFU 84
Description
我们假设佛祖的手掌是一个圆圈（所以任凭大圣一个筋斗云十万八千里也是飞不出其手掌心），圆圈的长为n，逆时针记为：0，1，2，…,n-1，而大圣每次飞的距离为d.现
在大圣所在的位置记为x,而大圣想去的地方在y。现在要你告诉大圣至少要多少筋斗云才能到达目的地。
Input
有多组测试数据。
第一行是一个正整数T，表示测试数据的组数。
每组测试数据包括一行，四个非负整数，n（2 < n < 10^9），表示如来手掌圆圈的长度；d(0 < d < n),筋斗所能飞的距离；x(0 <= x < n),大圣的初始位置；
y(0 <= y < n)，大圣想去的地方。
注意孙悟空的筋斗云只沿着逆时针方向翻。
Output
对于每组测试数据，输出一行，给出大圣最少要翻多少个筋斗云才能到达目的地。如果无论翻多少个筋斗云也不能到达，输出“Impossible”.
Sample Input
2
3 2 0 2
3 2 0 1
Sample Output
1
2
代码实现
1 2
| 此处的方程是 sd-tn=x-y. 带入exgcd函数后实现部分与上题相同
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思路
若题目能化到ax+by=l的不定方程的形式，那么可以套用ex欧几里德算法，求出d=gcd（a，b）后，abl三数同时除以d后带入exgcd方程，返回的p*=l，在%b后判断是否非
负。为负加上b直到为正即可。若l%d！=0则不满足题意。
模版
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| 该模版中若求q，则主函数不变，若求p，则主函数中q换成p using namespace std; void exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return; } exgcd(b,a%b,x,y); int t=x; x=y; y=t-a/b*y; return; } int main() { int p,q,x,y,l; //px+qy=l while(cin>>x>>y>>l) { exgcd(x,y,p,q); if(l%q) { puts("unsolvable"); continue; } q*=l; q=(q%y+y)%y; cout<<q<<endl; } }
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